Эльдар Кузенбаев родился в 1982 году в Костанайской области. Он окончил Костанайский государственный университет имени А. Байтурсынова и Костанайский инженерно-экономический университет имени М. Дулатова.
Трудовую деятельность он начал в 2002 году в системе Администратора судов Костанайской области. В последующие годы занимал должности старшего судебного исполнителя, начальника отделов в департаментах юстиции и управлениях юстиции районов области.
С 2010 по 2013 год работал заместителем акима Узынкольского района, затем пять лет возглавлял Сарыкольский район. В 2018–2019 годах был акимом Аркалыка. Позже занимал пост первого заместителя председателя Костанайского областного филиала партии Nur Otan, руководил аппаратом акима области и работал государственным инспектором в Администрации Президента.
С марта 2026 года и до назначения он возглавлял Комитет по миграции Министерства труда и социальной защиты населения. Ранее вице-министром промышленности и строительства был назначен Дархан Мырзабаев.